Ta chứng minh 1³ + 2³ + 3³ + ... + n³ = (1 + 2 + 3 + ... + n)² (1)

Giả sử (1) đúng với n = k ta chứng minh (1) cũng đúng với n = k + 1

hay 1³ + 2³ + 3³ + ... + (k + 1)³ = (1 + 2 + 3 + ... + k + k + 1)²

Khi đó ta có : 1³ + 2³ + 3³ + ... + k³ = (1 + 2 + 3 + ... + k)²(2)

Từ (2) ta được 1³ + 2³ + 3³ + ... + (k + 1)³ = (1 + 2 + 3 + ... + k)² + (k + 1)³ 

\(=\left[\dfrac{k\left(k+1\right)}{2}\right]^2+\left(k+1\right)^3\)

\(=\left(k+1\right)^2\left(\dfrac{k^2}{4}+k+1\right)\)

\(=\left(k+1\right)^2.\dfrac{k^2+4k+4}{4}=\left[\dfrac{\left(k+1\right).\left(k+2\right)}{2}\right]^2\) (*)

mà (1 + 2 + 3 + ... + k + k + 1)² = \(\left[\dfrac{\left(k+1\right).\left(k+2\right)}{2}\right]^2\) (**) 

Từ (*) ; (**) ta được ĐPCM .

Áp dụng cho bài toán ta có :

A = 1³ + 2³ + 3³ + ... + 2023³ 

= (1 + 2 + 3 + ... + 2023)² \(=\dfrac{2023^2.2024^2}{4}\)

=> \(A⋮7\) => Sau A ngày sẽ là thứ 6 trong tuần