Đầu tiên, ta chứng minh bài toán: \(1^3+2^3+3^3+...+n^3=\left(1+2+3+...+n\right)^2\) (n nguyên dương) (1)

+Với n=1, ta có: (1) \(\Leftrightarrow\) \(1^3=1^2\) (luôn đúng) 

+Giải sử, đẳng thức (1) đúng với mọi n=k, tức:

\(1^3+2^3+3^3+...+k^3=\left(1+2+3+...+k\right)^2\)

Ta cần chứng minh (1) đúng với n=k+1, tức là chứng minh: \(1^3+2^3+3^3+...+\left(k+1\right)^3=\left(1+2+3+...+\left(k+1\right)\right)^2\)

Mặt khác ta lại có: \(1+2+3+...+n=\dfrac{n\left(n+1\right)}{2}\)

Viêt lại biểu thức cần chứng minh: \(1^3+2^3+3^3+...+k^3+\left(k+1\right)^3=\left(\dfrac{\left(k+1\right)\left(k+1+1\right)}{2}\right)^2\)

Thật vậy, theo giả thiết quy nạp, ta có: \(\left(1+2+3+...+k\right)^2+\left(k+1\right)^3=\left(\dfrac{\left(k+1\right)\left(k+2\right)}{2}\right)^2\)

\(\Leftrightarrow\left(\dfrac{k\left(k+1\right)}{2}\right)^2+\left(k+1\right)^3=\left(\dfrac{\left(k+1\right)\left(k+2\right)}{2}\right)^2\)\(\Leftrightarrow\dfrac{\left(k^2+k\right)^2}{4}+\left(k+1\right)^3=\dfrac{\left(k^2+3k+2\right)^2}{4}\)

\(\Leftrightarrow\left(k+1\right)^3=\dfrac{\left(k^2+3k+2\right)^2-\left(k^2+k\right)^2}{4}\) \(\Leftrightarrow4\left(k+1\right)^3=\left(k^2+3k+2\right)^2-\left(k^2+k\right)=\left(k^2+3k+2-k^2-k\right)\left(k^2+3k+2+k^2+k\right)\)

\(\Leftrightarrow4\left(k+1\right)^3=\left(2k+2\right)\left(2k^2+4k+2\right)=4k^3+12k^2+12k+4=4\left(k+1\right)^3\) (luôn đúng)

Vậy đẳng thức (1) được chứng minh. 

Áp dụng bài toán vừa chứng minh, ta thay n=2023, ta được:

\(1^3+2^3+3^3+...+2023^3=\left(1+2+3+...+2023\right)^2=\dfrac{2023^2\left(2023+1\right)^2}{4}=\dfrac{2023^2.2024^2}{4}\)

Mà \(\dfrac{2023^2.2024^2}{4}⋮7\)

Nên sau \(1^3+2^3+3^3+...2023^3\) ngày nữa thì vẫn là thứ 6